Olimpíadas de Matemática 2010

Todas as provas e as soluções da 2a Fase da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas - OBMEP 2010, realizada em 11 de setembro passado, já estão disponíveis no site da olimpíada.
Lembramos também que os resultados da OBMEP 2010 serão divulgados a partir de 26 de novembro.

Gabarito: Mais exercícios

Exercícios de Geometria Plana. Áreas: Gabarito
1.
A = b x h
A = 9 x 4,5
A= 40,5 cm2

2.
h = 2,5
b = 3h, logo b = 3 x 2,5 = 7,5
A = b x h
A = 7,5 x 2,5
A = 18,75 cm2

3.
b = 1,2
h = 0,85
A = bxh
A = 1,2 x 0.85
A = 1,02 m2

4.
Área de uma chapa:
b = 45 cm
h = 25 cm
A = 45x25
A = 1125 cm2

Área de 5 chapas: (Área total)
5 x 1125 = 5625 cm2


5.
D = 37,5
d = 24,2
A = (Dxd)/2
A = (37,5x24,2)/2
A = 453,75 cm2

6.
d = 12
D = 2 x d = 2x12 = 24
A = (Dxd)/2
A = (12x24)/2
A = 144 cm2

7.
d = 6,2
D = 8
A = (Dxd)/2
A = (6,2x8)/2
A = 24,8 cm2


8.
d = 9
D = 15
A = (Dxd)/2
A = (15x9)/2
A = 67,5 cm2


9.
b= 4
h= 6
A= bxh
A = 4 x 6
A = 24 cm2

10.
b= 8
h= 3,5
A= bxh
A = 8 x 3,5
A = 28 cm2


11.
b= 15
h= 31,2
A= bxh
A = 15 x 31,2
A = 468 m2


12.
A = 9600
b= 80
h= ???
Como é um retângulo, logo a fórmula é: A= bxh
9600 = 80 x ?
9600/80 = ?
120 = ?
Logo o outro lado 120 cm

13.
Basta calcular a área da cozinha. A figura geométrica envolvida é um retângulo.
b= 4
h= 2,75
A= bxh
A = 4 x 2,75
A = 11 m2
Será necessário 11 m2 de azulejo

14.
Figura geométrica envolvida: Retângulo
b= 4,5
h= 3,5
A= bxh
A = 4,5 x 3,5
A = 15,75 m2
A sala tem 15,75 m2 de área se o metro quadrado do carpete vale 17,00, basta fazer a multiplicação:
15,75 x 17 = 267,75
Será gasto 267,75

15.
b = 12
B = 20
h = 5
A = (B + b)xh/2
A = (20 + 12)x 5/2
A = 80 c m2

16.
b = 7
B = 15
h = 9
O m² de terreno, no local, custa R$ 45, 00.
Calcule a área do terreno:
A = (B + b)xh/2
A = (15 + 7)x 9/2
A = 99 m2

O valor do terreno será calculado multiplicando o preço do m2 pela área do terreno.
99 x 45,00 = 4455,00

O valor do terreno é de 4455,00

17.
Não tem desenho, não sabemos qual é a figura geométrica da sala????? Exercício cancelado.

18..
b = 9,8
B = 15,6
h = 8
A = (B + b)xh/2
A = (15,6 + 9,8)x 8/2
A = 101,6 c m2

19.

B + b = 15,3
h = 12,4
A = (B + b)xh/2
A = 15,3 x 8/2
A = 61,2 c m2

20.
b = 3
B = 5
h = 2
A = (B + b)xh/2
A = (5 + 3)x 2/2
A = 8 cm2

21.
b = 15
h = 7,5
A = (bxh)/2
A = (15 x 7,5)/2
A = 56,25 cm2

22.
Exercício incompleto.... Cancelado

23.
b = ?????
A = 48
h = 8
A = (bxh)/2
48 = (? x 8)/2
48 x 2 = ? x 8
96 = ? x 8
? = 96 / 8
? = 12 m
A área da base mede 12 m

24.
b = 12
h = 20
A = (bxh)/2
A = (12 x 20)/2
A = 120 cm2

25.
b = 4,5
h = 6
A = (bxh)/2
A = (4,5 x 6)/2
A = 13,5 cm2
Como a pirâmide possui 4 triângulos, basta multiplicar a área de um triângulo por 4. Assim,
13,5 = 4 = 54 cm2

26.
b = 10
h = 5,6
A = (bxh)/2
A = (10 x 5,6)/2
A = 28 cm2

GABARITO LISTA 2 (FIGURAS)

4)D

4)A

6

4b

=

=

2° LISTA DE EXERCICIO F. MODULO

ENTREGA NO DIA 23/9 EM FOLHA DE PAPEL ALMAÇO
1) Calcule.
a)││- 2 │- │-10 ││=
b)│-3-5 │+ │+5 │=
c)-│-3+5│-│+3-6│=
d)+7-│+6 -│+3 - │(-6+3) │││=
e){-6 - ││-6│.│-3│-│(-3) : (-1) │││}

2)Considere a função f(x)= │10X -5│.Calcule:

a)f(0,001)=
b)f(1) + f(-1)=
c)f(5) . f(-5)=
d)x, tal que f(x)= 5

3)Resolva as equações;
a) │3x +1│=6
b) │x² -x-1│= 1
c) │-2x +1│ = x +2
d) │2x-5│=│x +4│
e) │x│² - 3 │x│+2 = 0
f) │x-1│+│x-2│= 5

4) Construa o gráfico usando qualquer valor.
a) y= │x-3│=
b) y= │x+2│=
c) y= │x² -2x -3│=
d) y= │x│+│x+2│=

5)Determine a domínio.
a) f(x)=

b)f(X)=


c)


d)Y= │x ² +x -1│
6- Construa o gráfico da função g(x)= 2-│3-x│. Ache o domínio , a imagem, raiz da equação.
Demonstre o intervalo quando a função cresce e decresce.

7)Um ciclista percorre uma determinada distância conforme a linha. Ele inicia o percurso no km (-20) até km(25). Depois de descansar vai até o km(0). Após uma breve parada, inicia o movimento até o km(-30). Qual à distância percorrida pelo ciclista?

8) O volume de água em um tanque varia com o tempo de acordo com a seguinte equação:
V= 10 -│4-2t│- │-2t -6│, t ϵ R+.
Nela , V é o volume médio em m³ após “t” horas, contadas apartir de 8 h de uma manhã. Determine os horários inicial e final dessa manhã, em que o volume permanece constante?

9) O preço médio de um certo produto agrícola em função do mês do ano que é comercializado se o P é preço médio em reais e n é o número correspondente ao mês do ano, p em função de n e dado por P(n)=8 -│6-n│. determine para qual valor de n ocorre o valor mínimo de P.
│

Mais exercícios

Exercícios de Geometria Plana. Áreas:
1.Calcule a área do paralelogramo, sabendo-se que a base mede 9 cm e a altura é 4,5 cm.

2.Num paralelogramo, a altura mede 2,5 cm. Sabendo que sua base mede o triplo da medida da altura, calcule a área desse paralelogramo.

3.Uma placa de alumínio tem a forma de um paralelogramo cujas dimensões são 1,2 m e 0,85 m. Calcule a área da superfície dessa placa.

4.Um marceneiro fez um enfeite de madeira utilizando 5 chapas em forma de paralelogramo com base 45 cm e altura 25 cm cada uma. Elas serão fixadas em uma parede. Qual é a área total, que essas chapas ocupam na superfície da parede?


5.Calcule a área do losango, sabendo que as diagonais medem 37,5 cm e 24,2 cm.

6. Calcule a área de um losango cuja diagonal menor mede 12 cm e a diagonal maior é o dobro da menor.

7. As diagonais de um losango medem 6,2 cm e 8 cm. Qual a sua área?

8.Calcule a área de um losango cuja diagonal maior mede 15 cm e a menor, 9 cm.

9.Calcule a área de um retângulo cujas dimensões são 4 cm e 6 cm.

10.Qual é a área de um retângulo cuja base mede 8 cm e a altura, 3,5 cm?

11.Um terreno retangular tem 15 m de frente por 31,2 m de fundo (lateral). Qual é a área desse terreno?

12.Fernanda fez um cartaz com uma cartolina retangular que ocupa na parede uma área de 9 600 cm². Se um dos lados mede 80 cm, qual é a medida do outro lado?

13.Quantos metros quadrados de azulejo são necessários para revestir até o teto as paredes laterais de uma cozinha com as seguintes dimensões: 4m por 2,75 m?

14.Quanto gastarei para forrar com carpete o piso de uma sala retangular de 4,5 m por 3,5 m, sabendo-se que o metro quadrado do carpete colocado custa R$ 17,00?

15.No trapézio de bases 12 cm e 20 cm, a altura mede 5 cm. Qual é a sua área?

16.Um terreno tem a forma de um trapézio de bases 7 m e 15 m e sua altura 9 m. Se o m² de terreno, no local, custa R$ 45, 00, qual é o preço desse terreno?

17.Quantos metros quadrados de carpete seriam necessários para cobrir totalmente o piso dessa sala, sabendo que as bases medem 11m e 7,40 m e altura, 6,50 m?

18.Calcule a área de um trapézio cujas bases medem 15,6 cm e 9,8 cm e a altura mede 8 cm.

19.Um trapézio tem 12,4 cm de altura. A soma das medidas de suas bases é 15,3 cm. Calcule a área desse trapézio.

20.Calcule a área de um trapézio cujas bases medem 5 cm e 3 cm e a altura mede 2 cm.

21.Qual é a área de um triângulo de base 15 cm e altura 7,5 cm?

22.Num triângulo, a medida da base é de 30 cm e a medida da altura é da medida da base. Qual é área desse triângulo?

23.Calcule a medida da base de um triângulo de área 48 m². Sabendo que a altura mede 8m.

24.Num triângulo de base 12 cm e altura 20 cm, quanto mede a sua área?

25.A figura a baixo é uma pirâmide, onde cada face lateral é um triângulo de base 4,5 cm e altura 6 cm. Nessas condições, qual a área das faces laterais triangulares da pirâmide?



26.Calcule a área de um triângulo cuja base mede 10 cm e cuja altura mede 5,6 cm.



(Ref. Colégio Salesiano Dom Bosco)

Exercícios de Geometria Plana

Nos exercícios abaixo você encontrará situações que não foram estudadas, indique no seu caderno estas situações.
Os exercícios que já conhecemos como calcular deverão ser feitos.

Clique aqui para ver os exercícios

1° LISTA DE EXERCÍCIO.

Prof: Marcus
Turmas 1001,1002, 1003.
Entrega no dia do teste 26/08/2010

1)RESOLVA AS EQUAÇÕES DO 2ºGRAU, quando possível.
a)x²-8x+15=0
b)(x-4).(x-7)=0
c)2x²-6x+6=0
d)(x-4)²-4=0
e)(3x-4).(2x+6)=0

2)Ache a raiz da equação.

a)x2 - 3x -4 = 0
b) x2 - 8x + 7 = 0
c) (x+5)(x-4)=0

3)Resolva o problema:
a) -3 é a raíz da equação x2 - 7x - 2c = 0. Nessas condições, determine o valor do coeficiente c?
b)2 é raiz da equação x²-5bx+3=0. Então ache o valor de b?

4)Dadas as funções abaixo, Ache o zero da função, e o vértice?

1)-x²-3x=0
2)2x²+4=0
3)x²-6x-9=0
4)4(x-3)-9=(3-x)(x-2)
5)(x-5)²-2x²=16+x²

5)Esboce o gráfico da função do 2ºgrau .Mostrando o valor máximo ou mínimo

a)x²-x-20=0
b)x²-5x+6=0
c)-x²+7x-12=0

6)Ache o valor de “m” para as condições dadas.

a)(m²-9)x²-4x+3=0, p/ que a função seja do 2ºgrau.

b) Para que tenha 2 raizes reais. X²-3mx+5=0

c)Para que tenha 2 raizes iguais, x²+4x-m=0

d)Para que não tenha raiz real, 2mx²-2x+6=0

7)Resolva as inequações.

a)(x-4)²>0 c)(x-7).(-x-5)<0

b)x²-6x-9<0 d)(x-3)²-3>(x-2).(2x+1)

Áreas das figuras planas

Essa é mais uma aula sobre áreas das figuras planas.
Vejam!




Após a exibição do video tiraremos algumas conclusões:
1) De que figura geométria o vídeo aborda?
2) De que conteúdo da geometria é explicado?
3) O que é o diâmetro?
4) O que é o número pi?
5) Quanto vale o número pi?
6)Para cálculos qual o valor aproximado que utilizaremos para o número pi?
7) Quais as fórmulas que você aprendeu?
8) Para que cada uma serve?

Aqui tem mais informações!

Aula de Geometria Plana - Áreas

Para sabermos mais sobre as áreas da principais figuras planas, vamos clicar no link abaixo e prestar atenção nos conceitos e exemplos:
Aula 1.2
Aula 2.2

Excelente aula!!!! simples e direta. Após essa aula clique no link abaixo e faça os exercícios.

Exercícios

Até breve.

Beleza Matemática

Video mostrado pelo professor Miguel nas aulas de matemática.
Uma beleza!!!

Quantas...?

Maneiras existem de rearrumar as letras do alfabeto? (com 26 letras)
403.291.461.126.605.635.584.000.000 maneiras

Maneiras existem de embaralhar um maço de cartas?

80.658.175.170.943.878.571.660.636.856.403.766.975.289.505.440.883.277.824.000.000.000.000 maneiras

Posições diferentes pode ter um cubo mágico?
43.252.003.274.489.856.000 maneiras

Configurações diferentes pode ter um jogo de sudoku?
6.670.903.752.021.072.936.960 maneiras

Sequências diferentes de 100 zeros e uns existem?
1.267.650.600.228.229.401.496.703.205.376 maneiras

Almanaque das Curiosidades Matemáticas

Ian Stewart

Ed. Zahar

História da matemática desde o século IX a.C

Por volta dos séculos IX e VIII a.C a matemática engatinhava na Babilônia. Os babilônios e os egípcios já tinham uma álgebra e uma geometria, mas somente o que bastasse para as suas necessidades práticas, e não de uma ciência organizada. Na Babilônia, a matemática era cultivada entre os escrivas responsáveis pelos tesouros reais. Apesar de todo material algébrico que tinham os babilônios e egípcios, só podemos encarar a matemática como ciência, no sentido moderno da palavra, a partir dos séculos VI e V a.C. na Grécia.

A matemática grega se distingue da babilônica e egípcia pela maneira de encará-la. Os gregos fizeram-na uma ciência propriamente dita sem a preocupação de suas aplicações práticas.

Do ponto de vista de estrutura, a matemática grega se distingue da anterior, por ter levado em conta problemas relacionados com processos infinitos, movimento e continuidade. As diversas tentativas dos gregos de resolverem tais problemas fizeram com que aparecesse o método axiomático-dedutivo. Este método consiste em admitir como verdadeiras certas preposições (mais ou menos evidentes) e a partir delas, por meio de um encadeamento lógico, chegar a proposições mais gerais. As dificuldades com que os gregos depararam ao estudar os problemas relativos a processos infinitos (sobretudo problemas sobre números irracionais) talvez sejam as causas que os desviaram da álgebra, encaminhando-os em direção à geometria. Realmente, é na geometria que os gregos se destacam, culminando com a obra de Euclides, intitulada "Os Elementos". Sucedendo Euclides, encontramos os trabalhos de Arquimedes e de Apolônio de Perga.

Arquimedes desenvolve a geometria, introduzindo um novo método, denominado "método de exaustão", que seria um verdadeiro germe do qual mais tarde iria brotar um importante ramo de matemática (teoria dos limites). Apolônio de Perga, contemporâneo de Arquimedes, dá início aos estudos das denominadas curvas cônicas: a elipse, a parábola, e a hipérbole, que desempenham, na matemática atual, papel muito importante. No tempo de Apolônio e Arquimedes, a Grécia já deixara de ser o centro cultural do mundo. Este, por meio das conquistas de Alexandre, tinha-se transferido para a cidade de Alexandria. Depois de Apolônio e Arquimedes, a matemática grega entra no seu ocaso.

Dia dez de dezembro de 641, cai a cidade de Alexandria sob a verde bandeira de Alá. Os exércitos árabes, então empenhados na chamada Guerra Santa, ocupam e destroem a cidade, e com ela todas as obras dos gregos. A ciência dos gregos entra em eclipse. Mas a cultura helênica era bem forte para sucumbir de um só golpe; daí por diante a matemática entra num estado latente. Os árabes, na sua arremetida, conquistam a Índia encontrando lá um outro tipo de cultura matemática: a Álgebra e a Aritmética.

Os hindus introduzem um símbolo completamente novo no sistema de numeração até então conhecido: o ZERO. Isto causa uma verdadeira revolução na "arte de calcular". Dá-se início à propagação da cultura dos hindus por meio dos árabes. Estes levam à Europa os denominados "Algarismos arábicos", de invenção dos hindus. Um dos maiores propagadores da matemática nesse tempo foi, sem dúvida, o árabe Mohamed Ibn Musa Alchwarizmi, de cujo nome resultou em nossa língua as palavras algarismos e Algoritmo.

Alchwarizmi propaga a sua obra, "Aldschebr Walmakabala", que ao pé da letra seria: restauração e conforto. (É dessa obra que se origina o nome Álgebra). A matemática, que se achava em estado latente, começa a se despertar. No ano 1202, o matemático italiano Leonardo de Pisa, cognominado de "Fibonacci" ressuscita a Matemática na sua obra intitulada "Leber abaci" na qual descreve a "arte de calcular" (Aritmética e Álgebra). Nesse livro Leonardo apresenta soluções de equações do 1º, 2º e 3º graus. Nessa época a Álgebra começa a tomar o seu sapecto formal. Um monge alemão. Jordanus Nemorarius já começa a utilizar letras para significar um número qualquer, e ademais introduz os sinais de + (mais) e - (menos) sob a forma das letras p (plus = mais) e m (minus = menos).

Outro matemático alemão, Michael Stifel, passa a utilizar os sinais de mais (+) e menos (-), como nós os utilizamos atualmente. É a álgebra que nasce e se põe em franco desenvolvimento. Tal desenvolvimento é finalmente consolidado na obra do matemático francês, François Viète, denominada "Álgebra Speciosa". Nela os símbolos alfabéticos têm uma significação geral, podendo designar números, segmentos de retas, entes geométricos etc.
(LISA - BIBLIOTECA DA MATEMÁTICA MODERNA: ANTÔNIO MARMO DE OLIVEIRA.)